Dalam matematika, konsep polinomial atau biasa disebut polinomial adalah suatu fungsi matematika yang di dalamnya terdapat operasi aritmatika penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pangkat bilangan bulat positif.

Aturan mengenai polinomial sangat membantu dalam menjalankan berbagai tugas sehari-hari yang melibatkan variabel tertentu. Agar lebih memahami materi polinomial, sebaiknya sering-seringlah berlatih contoh soal polinomial disertai pembahasan seperti di bawah ini.

Memahami Polinomial

Polinomial atau lebih dikenal dengan polinomial adalah suatu bentuk matematika yang melibatkan satu suku atau lebih yang pangkat variabelnya positif dan bilangan bulat. Dalam materi polinomial, operasi aritmatika yang dilakukan hanyalah pengurangan dan penjumlahan.

Dalam suku polinomial, variabel-variabel pada setiap suku mempunyai pangkat dengan besaran tertentu. Pangkat tertinggi disebut dengan gelar. Sedangkan variabel polinomial sendiri tidak harus satu melainkan bisa lebih dari satu variabel dengan berbagai huruf.

Berikut bentuk umum polinomial:

Informasi:

Dari bentuk umum di atas terlihat bahwa bentuk umum polinomial terdiri dari banyak suku, setiap suku terdiri dari koefisien, variabel, atau konstanta. Penulisan polinomial dimulai dari suku yang pangkatnya paling tinggi lalu terus diturunkan pangkatnya hingga nol.

Pembagian Polinomial

Membagi polinomial f(x) berderajat m dibagi dengan fungsi berderajat satu akan menghasilkan hasil bagi berderajat (m – 1) dan sisa pembagiannya berbentuk konstanta. Pembagian polinomial dengan pembagi (x – h) dapat menggunakan cara pembagian biasa, skema Horner dan koefisien tak tentu.

Metode Pembagian Biasa

1. Sisa pembagian yaitu

2. Koefisien hasil bagi

sama persis dengan angka baris terbawah pada perhitungan pertama tanpa f(c)

3. Jumlah derajat pembagi dan derajat hasil bagi sama dengan derajat pembagian. Derajat sisa terbesar satu lebih kecil dari derajat pembaginya.

Berikut ini adalah contoh cara membagi polinomial

agar lebih mudah dipahami:

Metode Horner

Metode Horner digunakan untuk menghitung hasil pembagian polinomial. Skema Horner juga dapat digunakan sebagai alternatif perhitungan nilai polinomial selain menggunakan metode substitusi biasa.

Skema Horner cocok untuk polinomial yang panjang. Untuk mengerjakan polinomial menggunakan metode Horner, berikut langkah-langkahnya:

Misalnya, jika ada bentuk polinomial f(y) = ay³ + by² + cy + d yang ingin Anda hitung nilai polinomialnya y = h, maka ada 3 langkah yang bisa dilakukan:

  1. langkah pertama

Koefisien a dikalikan h kemudian hasilnya dijumlahkan dengan b, sebagai berikut:

ah + b

  1. Tahap kedua

Selanjutnya ah + b dikalikan h dan hasilnya dijumlahkan dengan c, sebagai berikut:

ah² + bra + c

  1. Langkah ketiga

Selanjutnya ah² + bh + c dikalikan h dan hasilnya dijumlahkan dengan d, sebagai berikut:

ah³ + bh² + ch + d

Secara singkat urutan pengerjaan polinomial menggunakan metode Horner ditulis sebagai:

f(y) = ay³ + oleh² + cy + d

f(y) = (ay² + oleh + c) y + d

f(y) = ((ay + b) y + c) y + d

Jadi f(h) = ((ah + b) h + c) h + d

Proses perkalian dan penjumlahan suku polinomial

Metode Horner dapat digambarkan dengan skema berikut:

Untuk membandingkan hasil pembagian menggunakan metode Horner dan pembagian polinomial menggunakan algoritma pembagian, kita asumsikan bentuk polinomial

dibagi dengan (x – h) maka cara pembagiannya dilakukan dengan menggunakan algoritma pembagian seperti cara pembagian yang biasa dilakukan diatas.

Terlihat dari contoh di atas bahwa metode penentuan nilai polinomial Horner juga dapat digunakan untuk menentukan hasil pembagian dan sisa pembagian dengan menggunakan pembagi (x – h). Hasil pembagian baik menggunakan algoritma pembagian maupun metode horner memberikan hasil yang sama:

Metode Koefisien Tak Terbatas

Metode koefisien tak tentu merupakan metode lain yang dapat digunakan untuk menghitung hasil pembagian polinomial. Caranya adalah dengan mensubstitusi f(x) berderajat n dengan g(x) berderajat m ke dalam bentuk umum pembagian polinomial. Selanjutnya h(x) dan j(x) diisi dengan:

h(x) adalah polinomial berderajat k, dengan k = n – m

j(x) adalah polinomial berderajat m – k

Contoh Soal Polinomial

Gunakan metode Horner untuk menghitung hasil pembagian dari:

A. 2x³ + 4x² – 20 dibagi x – 3
B. 2x³ + 5x + 5 dibagi x + 1

Diskusi

Menjawab:

A. 2x³ + 4x² – 20 dibagi x – 3

Jadi berdasarkan cara Horner di atas, kita mendapatkan hasil bagi 2x² + 10x + 30 derajat 2 dengan 70 sebagai sisa pembagiannya.

B.

hasil bagi 2x² – 2x + 7 pangkat 2 dengan 19 adalah sisa pembagian.

Tentukan hasil pembagian 2x³ + 7x² – 13 dengan x – 2

Diskusi

Menjawab:

Maka operasi pembagian di atas dapat dituliskan secara berurutan sebagai berikut:

2x³ + 7x² – 13
= (x – 2) 2x² + 11x² – 13
= (x – 2) 2x² + 11x (x – 2) + 22x – 13
= (x – 2) 2x² + 11x (x – 2) + (x – 2) 22 + 31
= (x – 2)(2x² + 11x + 22) + 31

Sisa pembagiannya adalah 31 yang derajatnya lebih kecil dari (x – 2).

Untuk menghitung nilai sebenarnya suatu polinomial, Anda dapat menggunakan metode substitusi biasa. Namun metode substitusi hanya cocok untuk polinomial sederhana. Selain dengan metode substitusi, nilai polinomial dapat dihitung dengan menggunakan metode Horner, dan seterusnya.

Share:

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *