Kontinuitas fungsi trigonometri dapat dibuktikan dengan menggunakan konsep limit fungsi trigonometri dengan nilai x mendekati 0. Untuk menghitung limit fungsi digunakan teorema yang umum digunakan dalam kalkulus yaitu Teorema Apit.

Trigonometri memegang peranan yang sangat penting dalam kehidupan manusia. Berbagai aktivitas kehidupan dapat dikaitkan dengan fenomena trigonometri dan penerapan trigonometri. Misalnya saja konsep trigonometri yang dapat digunakan dalam bidang teknologi kedokteran, fisika teoretis, dan juga teknik.

Memahami Trigonometri

Trigonometri merupakan materi Matematika yang membahas tentang hubungan sisi dan sudut bangun datar segitiga. Istilah trigonometri berasal dari kata Yunani trigonon yang berarti tiga sudut. Sedangkan metron artinya mengukur.

Oleh karena itu, rumus trigonometri digunakan untuk menghitung sudut suatu bangun segitiga datar. Besar sudut suatu segitiga dapat dihitung hanya dengan menggunakan informasi besar sisi segitiga saja tanpa harus mengukurnya secara langsung.

Besaran sudut segitiga ini disebut sin, cos, tan. Istilah sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan) dan turunannya yaitu cosecant (csc), cotangent (cot) dan secant (sec) digunakan dalam mengukur sudut suatu segitiga dengan membandingkan sisi-sisi segitiga tersebut. segi tiga.

Misalnya, jika Anda memiliki segitiga siku-siku dengan sisi alas a, tinggi sisi b, dan sisi miring c, dan sudut pertemuan sisi alas dengan sisi miring adalah ϴ, maka nilai sinus, kosinus, dan tangen adalah:

sin ϴ = sisi tinggi/sisi miring = b/c
cos ϴ = alas/sisi miring = a/c
tan ϴ = sisi tinggi/sisi alas = b/a

Turunan Trigonometri

Turunan atau disebut diferensial merupakan suatu operasi perhitungan matematis untuk menghitung perubahan nilai suatu fungsi akibat nilai masukan dari variabel yang berbeda. Materi turunan berguna dalam menghitung garis singgung kurva fungsi kecepatan, laju pertumbuhan organisme, dan sebagainya.

Sedangkan turunan trigonometri merupakan konsep turunan yang diperoleh dari limit-limit fungsi trigonometri. Berikut turunan fungsi trigonometri:

  1. f(y) = sin y maka turunan f'(y) = cos y
  2. f(y) = cos y maka turunan f'(y) = – sin y
  3. f(y) = tan y maka turunan f'(y) = detik² y
  4. f(y) = sin ay maka turunan f'(y) = a cos ay
  5. f(y) = cos ay maka turunan f'(y) = – a sin ay
  6. f(y) = detik y maka turunan f'(y) = detik y tan y
  7. f(y) = kotan y maka turunan f'(y) = -cosec² y
  8. f(y) = cosec y maka turunan f'(y) = – cosec y cotan y

Jika turunan trigonometri melibatkan persamaan atau fungsi tertentu, misalnya u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap variabel y, maka u’ merupakan turunan u terhadap y, maka berlaku turunan sebagai berikut:

  1. f(y) = sin u maka turunannya f'(y) = u’ . karena kamu
  2. f(y) = cos u maka turunannya f'(y) = -u’ . dosa kamu
  3. f(y) = tan u maka turunannya f'(y) = u’ . detik² kamu
  4. f(y) = detik u maka turunan f'(y) = u’ detik u tan u
  5. f(y) = kotan u maka turunan f'(y) = – u’ cosec² u
  6. f(y) = cosec u maka turunannya f'(y) = – u’ cosec u cotan u

Contoh:

Turunan fungsi trigonometri f(x) = sin (cx + h) maka turunan f'(x) = c cos (cx + h)

Batasan Fungsi Trigonometri

Dalam Matematika, limit fungsi diartikan sebagai pergerakan suatu nilai fungsi menuju nilai limit tertentu yang paling dekat dengan nilai tersebut tetapi tidak pernah mencapai nilai tertentu secara tepat. Penulisan batasan fungsi pada umumnya menggunakan notasi sebagai berikut:

Untuk membuktikan limit fungsi trigonometri digunakan Teorema Apit. Misalnya, ada fungsi h, i, j yang didefinisikan pada interval terbuka L yang memuat a kecuali dalam a itu sendiri, sehingga fungsi h(x) ≤ i(x) ≤ j(x) berlaku untuk setiap x ϵ L dan X A.

Maka berdasarkan Teorema Apit di atas terbukti nilai limit fungsi trigonometri adalah sebagai berikut:

Agar kita dapat menyimpulkan teorema limit fungsi trigonometri untuk sembarang nilai riil a, kita peroleh:

Contoh Soal Limit Trigonometri

Tentukan nilai limit fungsi trigonometri di bawah ini:

Tentukan limit fungsi trigonometri di bawah ini:

Tentukan limit fungsi trigonometri di bawah ini:

Diskusi

Menjawab:

Limit suatu fungsi trigonometri adalah pergerakan suatu nilai fungsi trigonometri menuju suatu nilai limit tertentu yang paling dekat dengan nilai tersebut tetapi tidak tepat mencapai nilai tersebut.

Share:

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *